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最大与最小

作者:佚名    文章来源:本站原创    点击数:3913    更新时间:2004-12-18

最大与最小

 

在实际生活与生产实践中,人们总是想用最少的财力、物力、人力以及时间等在可能的范围内取得最佳效益。况且,在许多现实问题中有时很难确定或者就不需要具体的每个数值,有时只关心最大、最小等极值。

这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。经常只能根据具体问题,综合运用所学知识进行求解。

1  某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。在花店这样的装饰品成束出售,由20朵花组成的花束每束价值4元,由35朵花组成的花束每束价值6元,由50朵花组成的花束每束价值9元,请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵?

分析:想用100元钱买到最多的花朵,题目中有三种花束:

A种:由20朵花组成的花束价值4元

B种:由35朵花组成的花束价值6元

C种:由50朵花组成的花束每束价值9元

平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵,为了买到最多的花朵,应该多买B种花束

解:经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜,宜多买。由于每束6元,故100元钱可买16束,还剩4元钱,这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束,这时共买花朵:16×35+20=580(朵),若B种花束少买几束,增加A种或C种花束的数量,都不能使花朵数达到580朵。

因此,应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束,可使花朵数量最多:580朵。

说明:此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时,可使花朵最多,列方程:4x+6y+9z=100,x,y,z是自然数

可以先缩小字母的取值范围。例如12元能买3束A种花束或2束B种花束,分别得到60朵花和70朵花,于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束。同理,比较B种花束和C种花束,发现要使花朵最多,C种花束不应超过1束,即x≦2,z≦1,下面只有很少的几种情况了,可以一一列举,同样可以求得x=1,z=0,y=16

2  有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字恰好是它前面两个数字之和,如134,1459等等,求这类数中最大的自然数和最小的自然数。

分析:要得到最大的自然数,应使得这个自然数的位数尽可能地多。如果最前面的两个数字越大,则按规则构造的位数越少,所以若想按规则构造最大的自然数,前两个数字应取10,这类数中,最小的应是三位数,先考虑百位为1的自然数,若十位数字为a,则个位数字为(a+1),只有当a+(a+1)>9时,即a≥5时,才能保证按规则构造的数是三位数,取a=5。

解:这类数中最大的是10112358,最小的是156。

说明:在自然数中求满足条件的某个量的最值问题(常称离散最值问题)往往解法比较灵活,但只要仔细分析条件,进行深入细致的推理,是不难解决的。这对培养学生的创新思维能力是非常好的材料。

3  设四个不同的正整数构成的四数组中,最小的数与其余三数的平均值之和为17,而最大数与其余三数的平均值之和为29,在满足上述条件的所有四数组中,找出最大的那个数。

分析:设四个不同的正整数从大到小依次为a,b,c,d,依题意可列出两个方程:

将这两个方程变形为:

-①得:   a=18+d

a>b>c>d,利用不等式的性质就可以估计d的取值范围了。

解:设此四个正整数分别为:a、b、c、d,且a>b>c>d,依题意有

即:

则用这两个方程相减得:   a=18+d

a>b>c>d,则b≥d+2,C≥d+1

由①式得:


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